Добрый день.
Стоило выяснить, есть ли у молодого человека "серьезные намарения" с самого начала отношений, но сейчас говорить об этом уже нет смысла.
Стоит иметь в виду, что для некоторых категорий госслужащих в отдельных случаях наличие судимого родственника действительно может оказать негативное воздействие на карьерные перспективы, но сама по себе "чистая" анкета карьерного успеха не гарантирует, а постоянное сожительство с женщиной, имеющей судимых родственников, как правило расценивается контролирующими органами примерно так же, как брак с ней.
Молодой человек ясно дал Вам понять, что в настоящее время делать Вам предложение он не намерен, но зная о рисках, он продолжает состоять в отношениях с Вами, не смотря на наличие у Вас судимого родственника, и это говорит о том, что расматривает Ваши отношения как серьезные и значимые для него.
Если эти слова были произнесены во время ссоры, то может быть проблема не в судимых родственниках, и не в карьерных перспективах, а в тех эмоционально насыщенных ссорах, которые между вами происходят, и Вам стоит поработать над собой с тем, чтобы ссор между Вами стало меньше.
Вам решать, стоит ли продолжать отношения или не стоит - никто за Вас этого решения не примет. И если Вы решите побороться за отношения, то сконцентрироваться стоит на выявлении и устранении причинх тех ссор, которые между Вами происходят.
С уважением и наилучшими пожеланиями, Евгений